Integraal is te vinden op The Daily Integral 27-2-2026.
\[\int_0^\infty{\frac{dx}{\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{2}}}\]Rationaliseren
\[(\sqrt{1+x^{2}}+x)(\sqrt{1+x^{2}}-x)=1+x^2-x^2=1\] Hieruit volgt dat: \[\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}=\sqrt{1+x^{2}}-x\] Dus: \[\int_0^\infty{\frac{dx}{\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{2}}}=\int_0^\infty{\left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)^2}dx\]
Hyperbolische Substitutie
Substitueer $x=\sinh(t)$. Dit geeft: $\sqrt{1+x^2}=\cosh(t)$ en $dx=\cosh(t)dt$. De grenzen blijven hetzelfde sinds $\sinh(0)=0$ en $\lim_{x \to \infty}\sinh(x)=\infty$. \[\int_0^\infty{\left(\cosh(t)-\sinh(t)\right)^2}\cosh(t)dt\]
Herleiden
$\cosh(t)=\frac{e^{-t}+e^{t}}{2}$ en $\sinh(t)=\frac{e^{-t}-e^{t}}{-2}$. Hieruit volgt dat \[\cosh(t)-\sinh(t)=\frac{e^{-t}+e^{t}}{2}-\frac{e^{-t}-e^{t}}{-2}=e^{-t}\] Dus hebben we: \[\int_0^\infty{(e^{-x})^2}\frac{e^{-t}+e^{t}}{2}dt\] \[=\int_0^\infty{e^{-2x}}\frac{e^{-t}+e^{t}}{2}dt\] \[=\frac{1}{2}\int_0^\infty{e^{-2t}}(e^{-t}+e^{t})dt\] \[=\frac{1}{2}\int_0^\infty{e^{-3t}+e^{-t}}dt\] \[=\frac{1}{2}\int_0^\infty{e^{-3t}}dt+\frac{1}{2}\int_0^\infty{e^{-t}}dt\] \[=\frac{1}{2}\left. \frac{e^{-3t}}{3} \right|^{t=\infty}_{t=0} +\frac{1}{2} \left. \frac{e^{-t}}{-1} \right|^{t=\infty}_{t=0}\] \[-\frac{1}{2}\frac{e^{0}}{-3}-\frac{1}{2}\frac{e^{0}}{-1}\] \[=\frac{2}{3}\]