Iteratieve Benaderingen van Gonio Functies

Alleen Cosinus

De Taylor-reeks van Cosinus rond 0 geeft voor kleine waarden van \(x\) een uitstekende benadering. Hiervan kan gebruik gemaakt worden door deze waarde te berekenen, en dan steeds de hoek te verdubbele, om uiteindelijk uit te komen op de waarde van de cosinus van de gewenste hoek.

Voorbeeld.

Neem bijv. \(\cos(1)\) (in radialen). We kiezen als eerst hoe precies we de benadering willen hebben. Dit kan door twee parameters in te stellen: \(I\) voor het aantal iteraties, en \(T\) voor het aantal termen in de Taylor-reeks.

\[ I=2,T=2, \alpha = 1\mathrm {rad} \]

2 iteraties = 2 verdubbelingen, daarom benaderen we met de Taylor-reeks de hoek: \[ \frac{\alpha}{2^2}= \frac{1}{4}\mathrm {rad} \]

De eerste twee termen in de Taylor-reeks van Cosinus zijn:

\[ 1-\frac{x^2}{2} \] \( x=\frac{1}{4}\mathrm {rad} \) \[ 1-\frac{\frac{1}{4}^2}{2}= 0.96875 \]

Nu gebruiken we twee keer de dubbele hoek identiteit:

\[2(0.96875)^2-1=0.876953125\] \[2(0.876953125)^2-1=0.538093566895\]

Exacte waarde van \(\cos(1) = 0.54030230587...\), ongeveer \(-0.4\% \) afwijking.

Sinus en Cosinus tegelijk

Een kleine afrondings fout kan bij de vorige methode steeds groter en groter worden, daarom is het handig om deze to corrigeren door tegelijker tijd de sinus te berekenen. Dit geeft twee vergelijking voor elke iteratie. We dubbelen de hoek weer elke iteratie:

\[ s_{n+1}=2c_n s_n, c_{n+1}={c_n}^2-{s_n}^2 \]

En hierbij starten we weer met een benadering van de Taylor-reeks

Voorbeeld. \[I=3,T=2,\alpha=0.6\mathrm {rad}\]

De starthoek word nu: \(\frac{\alpha}{2^3}=0.075\)

\[s_0 = \alpha-\frac{\alpha^3}{6}=0.0749296875\] \[c_0 = 1-\frac{\alpha^2}{2}=0.9971875\] \[s_1 \approx 0.1494378955078125\] \[c_1 \approx 0.9887684520874024\] \[s_2 \approx 0.29551895324891747\] \[c_2 \approx 0.9553313672295138\] \[s_3 \approx 0.5646370512990462\] \[c_3 \approx 0.8253265694832763\]

Exacte waarden:

\[\sin(0.6)=0.5646424734...\] \[\cos(0.6)=0.82533561491...\]